Mathematik

Die Grundrechenarten - nur "die Spitze des Eisbergs"!
Wir nutzen bisher nur einen äußerst geringen Teil mathematischer Möglichkeiten

1. a Ø₀ a = a Ø₁ 2
2. a Ø₁ a = a Ø₂ 2
3. a Ø₂ a = a Ø₃ 2
4. a Ø₃ a = a Ø₄ 2
5. a Ø₄ a = a Ø₅ 2
6. a Ø₅ a = a Ø₆ 2            
                 …

n. a Ø_n-1 a = a Ø_n 2

Es gibt also n-1 verschiedene Verknüpfungen bei n Rechenarten, wovon derzeit erst drei (!) genutzt werden.   

Unterstellen wir einmal, dass es auch in der umgekehrten Richtung genauso viele Verknüpfungen gibt, dann existieren sogar 2n-1 Verknüpfungsmöglichkeiten mit 2n Rechenarten, mitsamt deren Regelwerken incl. Inversionen…   

Die allgemeine Übersicht sieht dann so aus:   

 -n.  a Ø_-n a = a Ø_-n+1 2       

                      …

-4.  a Ø_-4 a = a Ø_-3 2        ↑
-3.  a Ø_-3 a = a Ø_-2 2        ↑
-2.  a Ø_-2 a = a Ø_-1 2        ↑
-1.  a Ø_-1 a =|a Ø₀  2        ↑ 

1.   a Ø₀ a = a  Ø₁ 2         ↓
2.    a Ø₁ a = a Ø₂ 2         ↓
3.    a Ø₂ a|= a Ø₃ 2         ↓
4.    a Ø₃ a = a Ø₄ 2         ↓
5.    a Ø₄ a = a Ø₅ 2         ↓
6.    a Ø₅ a = a Ø₆ 2         ↓                    …
n.    a Ø_n-1 a = a Ø_n 2       

 

Noch einmal: Unsere gesamte Rechentätigkeit spielt sich bislang nur im unterstrichenen Bereich ab; die Bereiche darunter und darüber liegen derzeit komplett brach!   

Erinnern wir uns: auf der rechten Seite dieser Gleichungen werden unterschiedliche Zahlenwerte dargestellt, in Abhängigkeit vom jeweiligen Verknüpfungsgrad. Je höher der Verknüpfungsgrad, umso höhere Zahlenwerte werden durch (nur) zwei - gleiche - Ziffern ausgedrückt – und umgekehrt.    

Sehr merkwürdig geht es nun unterhalb der Verknüpfungsebene Null zu: die beiden durch das Symbol a ausgedrückten Zahlen werden durch die Verknüpfung nicht mehr vollständig mit ihrem Zahlenwert erfasst; je niedriger der Verknüpfungsgrad, umso geringer ist auch der jeweilige „Bruchteil“ des erfassten Zahlenwertes, wobei von jeder Zahl a immer der gleiche Anteil des Zahlenwertes erfasst wird. Möglicherweise handelt es sich hier um neuartige Zahlenkategorien, die durch den Begriff „Bruchteil“ nur unzulänglich beschrieben werden. Brüche entstehen ja original durch Divisionen; diese „Brüche“ hier entstehen jedoch nicht durch klassisches Dividieren, sondern durch bisher unbekannte Rechenoperationen.  

Folgerungen

Ja, brauchen wir das denn? Reichen uns denn nicht die drei Grundrechenarten? Das lässt sich doch alles auf die Addition zurückführen...!
Solche Einwände hörte ich schon öfter. Aber - sie gehen doch am Kern der Sache vorbei. Genausogut könnte man fragen: brauchen wir eigentlich die Multiplikation? Die lässt sich doch auch auf die Addition zurückführen! In der Tat werden bei der Computertechnik alle Operationen auf die grundlegende Addition zurückgeführt.

Aber: in jeder neuen Ebene oberhalb der Addition verbergen sich auch spezifische Rechenregeln, die mit der einfachen Addition nicht darstellbar sind. Denken Sie an die Umkehrungen der Potenzierung, also Wurzelziehen und Logarithmieren!

Die Situation ist vergleichbar mit der Entwicklung der „Bool’schen Algebra“ vor gut 200 Jahren; es gab seinerzeit scheinbar keine Anwendungen hierfür – man hielt das ganze für schiere Spielerei. In unserer Zeit hingegen werden die Rechenoperationen beim Computer, der mit dem binären Zahlensystem arbeitet, mit Hilfe der Bool’schen Algebra bewerkstelligt…   

Die Folgerungen aus diesen Erkenntnissen sind schwer abzuschätzen. Die Spekulationen reichen von schnelleren Algorithmen in der Computertechnik bis hin zur Physik – die höher- und niederdimensionalen Räume lassen grüßen, "fraktale" Räume rücken ins Blickfeld…

Die Menschen haben Jahrtausende gebraucht, um sich von der einfachen Addition an die heute bekannten Grundrechenarten heranzuarbeiten. Wurzelziehen, Logarithmieren, ebenso die Darstellung beispielsweise der Keplerschen Gesetze der Himmelsmechanik wären ohne die in diesen Jahrtausenden gefundenen neuen Rechenarten nicht darstellbar.

Und doch sind es von 2n-1 Möglichkeiten nur ganze DREI Grundrechenarten - mit den Umkehrungen sechs - die tatsächlich genutzt werden; der Rest ist schlichtweg unbekannt!

So ist zu vermuten, dass es viele Gesetzmäßigkeiten in der Mathematik wie in der Physik gibt, die sich erst dann darstellen lassen, wenn dereinst die Rechenregeln sowohl der "höheren" (Super- Hyperpontenzieren) wie der "niederen" Grundrechenarten - wie oben beschrieben - ermittelt sind und entsprechend angewendet werden können.

Wer von den Mathematikern greift diesen Fall auf und widmet sich der Erforschung der neuen Rechenregeln?

Erläuterungen

Das erste Echo auf diesen Beitrag hat gezeigt, dass ein Teil des besprochenen Themas weiterer Erläuterungen bedarf.

Dass man die Potenzierungen „oberhalb“ der Additionsebene beliebig erweitern kann, ist ja nicht so schwer einzusehen. Aber auch „unterhalb“? Dieser Gedanke wider alle Erfahrung bürstet uns erst mal gehörig gegen den Strich! In der Tat befinden wir uns hier auf völlig unbekanntem Terrain, müssen uns die Zusammenhänge und Regeln erst nach und nach erarbeiten.

Obwohl uns dieser Gedanke vielleicht gegen den Strich gehen mag, sollten wir an Herrn Einstein denken –
der sagte mal: „Der gesunde Menschenverstand ist eine Summe von Vorurteilen“...

Zum besseren Verständnis des Sachverhalts möge uns ein simples Zahlenbeispiel helfen. Wenn eine Rechenoperation – Addieren oder Multiplizieren zweier gleicher Zahlen - ausgeführt werden soll, schreiben wir gewöhnlich beide Zahlen mit einem „Operationsbefehl“ hin.

Für das erste Beispiel verwenden wir die Zahl 3:

Addition:                 3 + 3  =  6
Multiplikation           3 x 3   =  9
Potenzieren             3³      = 27

Für das zweite Beispiel nehmen wir die Zahl 7:

Addition:                7 + 7 =  14
Multiplikation          7 x  7 =  49
Potenzieren           7⁷      = 823 543   

Wie bei jeder Gleichung, steht in jeder Zeile links wie rechts der gleiche Zahlenwert, nur jeweils anders ausgedrückt. Wir sehen sofort, dass es möglich ist, mit nur zwei Ziffern ganz unterschiedliche Zahlenwerte darzustellen; die Ziffern und die Anzahl der Ziffern auf den linken Seiten der Gleichungen bleiben dabei in jeder Zeile gleich und werden nicht verändert. Den Unterschied macht allein der Operationsbefehl, auch „Verknüpfung“ genannt.

Der „nominale Zahlenwert“ beider verwendeter Ziffern hingegen beträgt bei der 3 immer 6 (zwei Dreien), bei der 7 immer 14 (zwei Siebenen).

Und nun wiederholen wir noch einmal die allgemeine Darstellung (s. o.):

1:    a + a = a * 2        Am Anfang der nächsten Zeile ersetzen wir jeweils die 2 durch ein a:
       _{^{Addition >>Multiplikation}}   
2:    a * a = a^{2    
       _{Multiplikation >>Potenzieren}}   
3:    a^a = ?        
       _^Potenzieren   

Hier sehen wir, wie jede „höhere“ Rechenart aus einer „niederen“ hervorgeht. Die entscheidende Frage lautet nun:

Aus welcher „niederen“ Rechenoperation ist die Addition hervorgegangen?

Um eine Antwort auf diese Frage zu erhalten, verwenden wir zunächst die allgemeine Gleichung

            a # a = a + 2

wobei das Zeichen # für eine bisher unbekannte Rechenoperation stehen soll. Man verwechsle es nicht mit einer gewöhnlichen Additionsvorschrift!
Diese Gleichung können Sie als 0. Gleichung der "allgemeinen Darstellung" (s. o.) voranstellen.

Für ein Zahlenbeispiel nehmen wir wieder die Zahl 7 und setzen sie in die Gleichung ein:

             7 # 7 = 7 + 2

Die unbekannte Rechenoperation darf hier nur den Zahlenwert–Anteil von jeweils 4,5 von jeder 7 „verbrauchen“, damit die Gleichung stimmt. Der rechts stehende Zahlenwert beträgt ja 9.

Ist so etwas überhaupt sinnvoll und/oder zulässig?

Sinnvoll ist es, damit die Gleichung stimmt. Zulässig ist es aber auch: um dies zu beurteilen, hilft uns  ein Blick auf die vorangestellten Betrachtungen – wir haben dort festgestellt, dass mit zwei gleichen Ziffern sehr wohl unterschiedliche Zahlenwerte dargestellt werden können! Diese Zahlenwerte müssen nun keinesfalls mit dem "nominalen Zahlenwert" der verwendeten Ziffern – hier 14 – übereinstimmen. Allein die Beschaffenheit des Operators entscheidet, welcher Zahlenwert am Ende der Operation entsteht.

Ob bei einer solchen Operation ein Vielfaches des nominalen Zahlenwertes oder nur ein Bruchteil herauskommt, ist ebenfalls völlig unerheblich.